EVAP 1 - TEORIA

TEORIA DE NUMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCION

En las matemáticas a los números complejos se los considera como una extensión de los números reales, en tanto, en este último grupo se incluye a los números racionales, tanto positivos como negativos y al cero, y por otro lado a los números irracionales.

Ahora bien, estos números que nos ocupan forman un conjunto de cifras que resultan de sumas entre un número real y otro imaginario. En tanto, un número real será aquel que podrá expresarse a través de un número entero, o en su defecto de uno decimal.



Mientras tanto el número imaginario será aquel cuyo cuadrado resulta ser negativo. Vale destacarse a propósito de este último tipo de número que el concepto fue desarrollado hacia finales del siglo XVIII por el físico y matemático suizo Leonhard Paul Euler. En aquel momento le atribuyó a v-1 la denominación de i (imaginario).

También es importante señalar al respecto que la noción de números complejos ya había sido abordada en la antigüedad por algunos matemáticos griegos como consecuencia de los problemas que surgían a la hora de construir pirámides, aunque claro, no con tanta claridad ni elementos a su favor.

El cuerpo de cada número real se encuentra conformado por pares ordenados, siendo el primer componente la parte real y la segunda parte entonces es la parte imaginaria que indicábamos. Por su parte, los números imaginarios puros lo son porque están conformados únicamente por una parte imaginaria.

Entre los grandes aportes que se le endilgan a este tipo de números se cuenta la posibilidad de reflejar a todas las raíces de los polinomios, situación por caso que los números reales no pueden realizar ya que no abarcan a las raíces de ordenación par pertenecientes al conjunto de los números negativos.

Como consecuencia de lo expuesto es que los números complejos son utilizados especialmente a instancias de ámbitos como la ingeniería, las telecomunicaciones, la electrónica, la física y en diferentes áreas de las matemáticas para representar a la corriente eléctrica o a las ondas electromagnéticas, entre otras.

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DEFINICIÓN

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . 

Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número  
y se designa por la letra i.

Potencias de la unidad imaginaria

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

i²²

i²² = (i⁴)⁵ · i² = − 1

i²⁷ = −i

Números imaginarios

Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real 
ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que
 es unnúmero imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por:

Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejos z = a + bi y z = a − bi 
se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen 
la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Operaciones de complejos en forma binómica

Suma y resta de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

Módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

|z| = r       arg(z) =        z = r_α

 

BINÓMICA	Z = A + BI
POLAR	Z = RΑ
TRIGONOMÉTRICA	Z = R (COSΑ + I SEN Α)

Números complejos iguales, conjugados y opuestos

Iguales

Conjugados

Opuestos

PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1

Al multiplicar un número complejo z = r_α por 1_β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

r_α · 1_β = r_{α + β}

COCIENTE DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

POTENCIA DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

 

 FÓRMULA DE MOIVRE

RAÍZ N-ÉSIMA DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)

LINKS:

  

http://www.vitutor.net/1/0_8.html

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo